סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b b. = יש למשוואה פתרון יחיד והוא: כאשר b אין פתרון למשוואה. = כאשר =b יש למשוואה אינסוף פתרונות. = כאשר בנוסף לסעיפים הנ"ל יש לקחת בחשבון את תחום ההגדרה של המשוואה המקורית, במידה וקיים. לדוגמא:. m= m לסעיף א': לסעיף ב': m = m. חקירת מערכת משוואות מהמעלה הראשונה עם שני נעלמים + b y + c = + b y + c = דרך א':- בעזרת שיטת ההצבה או בעזרת שיטת השוואת מקדמים נגיע לצורה הנורמלית של = ואותה נחקור בהתאם לסעיף. משוואה מהמעלה הראשונה b במידה ותהיה דרישה, יש למצוא את את y (הפתרון). דרך ב':- היחסים בין המקדמים של שתי המשוואות: b b b c = b c b c = = b c כאשר כאשר יש פתרון יחיד למערכת. אין פתרון למערכת. כאשר יש אינסוף פתרונות למערכת. הקשר בין הפתרון האלגברי לגרפי: כאשר יש פתרון יחיד של המערכת כאשר אין פתרון למערכת כאשר יש אינסוף פתרונות למערכת הישרים הנ"ל נחתכים בנקודה אחת ולהיפך. הישרים הנ"ל מקבילים ולהיפך. הישרים הנ"ל מתלכדים ולהיפך.
( ) + b + c =. חקירת משוואה מהמעלה השנייה (ריבועית) מהצורה: > כאשר יש למשוואה שני שורשים ממשיים שונים. = כאשר יש למשוואה שורש ממשי אחד (שני השורשים מתלכדים). < כאשר אין למשוואה שורשים ממשיים. כאשר שואלים לאילו ערכי m אין למשוואה שורשים ממשיים:-, מקדם ל- יש לסדר את הפרבולה כך שיהיה מקדם ל- ואיבר חופשי. ( = לבדוק את הקו הישר (אחרי הצבת הפרמטר יש לקבל ביטוי ללא לבדוק את הפרבולה כשהתנאים הם: < פתרון סופי יהיה מערכת "או" בין הפתרונות של סעיף ב' וסעיף ג'. ד. הסבר מבחינה גרפית: Y הקו הישר Y הפרבולה X X הערה: הקוים המקווקוים הם גם אופציה לפתרון כאשר שואלים לאילו ערכי m יש למשוואה שני שורשים ממשיים שונים:- Y יש לסדר את הפרבולה. אין בדיקת קו ישר (כי רוצים שני שורשים). X > לבדוק את הפרבולה כשהתנאים הם:
כאשר שואלים לאילו ערכי m שני השורשים מתלכדים:- יש לסדר את הפרבולה. אין בדיקת קו ישר (מניסוח השאלה רוצים משוואה ממעלה שניה בלבד). = לבדוק את הפרבולה כשהתנאים הם: Y הסבר מבחינה גרפית: X כאשר שואלים לאילו ערכי m יש לגרף הפונקציה ולציר ה- נקודת אחת משותפת:- יש לסדר את הפרבולה. ואת = לבדוק את הקו הישר (אחרי הצבת הפרמטר יש לקבל ביטוי עם יש למצוא) בדיקת הפרבולה כשהתנאים הם: = פתרון סופי יהיה מערכת "או" בין הפתרונות של סעיף ב' וסעיף ג'. ד.. b = הנקודה המשותפת לפרבולה ולציר ה- תהיה בנקודה שבה: יתקבל כפונקציה של m. נציב את m שהתקבל מסעיף ג' ונקבל את, או שניתן להציב את m במשוואה ולפתור בהתאם. יתקבל רק פתרון אחד ל- כצפוי. מבחינה גרפית: Y הקו הישר הפרבולה Y X X שימו לב: הכוונה היא שמדובר בפרבולה והיא יכולה להיות כאשר אנו דורשים "בוכה" ) < ( או "צוחקת" ) > ( העיקר לא קו ישר.
"שיטת התמיד" במשוואה פרמטרית מהמעלה השנייה, כאשר שואלים: עבור אילו ערכי m אי-השיוויון מתקיים לכל ערך של (כלומר תמיד):-.4 ( ד. יש לסדר את הפרבולה כך שיהיה מקדם ל- לבדוק את הקו הישר, מקדם ל- = ואיבר חופשי. (אחרי הצבת הפרמטר יש לקבל ביטוי נכון שתמיד מתקיים ללא לבדוק את הפרבולה בהתאם לצורת אי-השוויון (ראו פירוט להלן). פתרון סופי יהיה מערכת "או" בין הפתרונות של סעיף ב' וסעיף ג'. (תמיד) + b + אי-השוויון מהצורה > c מתקיים עבור כל ערך של ( > < כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה (סעיף ג') הם:. (תמיד) אי-השוויון מהצורה + b + c < מתקיים עבור כל ערך של < כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה (סעיף ג') הם:. < ( (תמיד) אי-השוויון מהצורה + b + c מתקיים עבור כל ערך של > כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה (סעיף ג') הם:. ( (תמיד) אי-השוויון מהצורה + b + c מתקיים עבור כל ערך של < כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה (סעיף ג') הם:. (4 m הערה: ב"שיטת התמיד" גדולה הפונקציה ניתן לפתור גם תרגילים בנוסח: עבור אילו ערכים של f מהפונקציה g לכל ערך של (תמיד)? 4
. b, 4 b, c b 4 "שיטת הקודקוד" קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה או.5 בשיטה זו, סעיפים א', ב', ד', זהים ל"שיטת התמיד" משתמשים ב- y של הקודקוד כאחד התנאים לדוגמא: למעט סעיף ג' שבו b + מתקיים תמיד, + כאשר שואלים מתי אי-השוויון מהצורה > c או כאשר שואלים מתי הפרבולה נמצאת כולה מעל לציר ה-. ( Y התנאים לבדיקת הפרבולה (סעיף ג') לפי "שיטת הקודקוד" הם: y > > קודקוד ומבחינה גרפית: X (הפרבולה "צוחקת" וה- y של הקודקוד נמצא מעל ציר ה- (. Y כאשר שואלים: מתי הפרבולה נמצאת כולה מעל לציר ה- וחותכת קו מסויים y = k בשתי נקודות שונות, התנאים לבדיקת הפרבולה (סעיף ג') לפי "שיטת הקודקוד" הם: y < k > < קודקוד ומבחינה גרפית: y = k ( X את השאלה הנ"ל ניתן לפתור גם בדרך אחרת - לפצל את הדרך לפתרון לשני שלבים: > < הפרבולה נמצאת כולה מעל ציר ה- (כלומר תמיד) - נפתור שלב זה ב"שיטת התמיד" והתנאים לכך הם: - y = k הפרבולה חותכת את הקו בשתי נקודות שונות (לפרבולה שני שורשים) - f( ) k = f( ) נשווה בין הפרבולה לקו הישר ונקבל: = k והתנאים לכך הם: (הדיסקרימיננטה כאן שונה מזו שבסעיף א'!) > הפתרון הסופי יתקבל על-ידי ביצוע "" בין פתרונות הסעיפים א' ו-ב'. 5
Y כאשר שואלים עבור אילו ערכים של m גרף הפונקציה הוא פרבולה שקודקודה נמצא ברביע מסויים לדוגמא: ברביע ה-,IV התנאים לכך הם:- ( i i X ומבחינה גרפית > קודקוד < y קודקוד 6. תזכורת לגבי "בדיקת הקו הישר" מספר דוגמאות. א) כאשר שואלים: מצא לאילו ערכי m אי-השיוויונים מתקיימים לכל ערך של m m + 8 > דוגמא :- m = כאשר = נקבל 8 > + 8 > נציב = m באי- השיוויון ונקבל:- כלומר תמיד.. < 5 מסקנה: דוגמא :- כאשר = m לכל ערך של אי-השיוויון תמיד חיובי וזה מתאים לתנאי השאלה ולכן = m הוא פתרון של הקו הישר..m = -, m = 5 + > m 5m + > m = כאשר = נקבל נציב את הפתרון הראשון = m והפתרונות הם: באי-השיוויון ונקבל: כלומר מסקנה: = m אינו מתאים לתנאי השאלה כיוון שרוצים שאי-השיוויון יתקיים תמיד, לכל ערך של, ולא רק קטן מ-. 5. > 5 + 5 + > נציב את הפתרון השני - = m באי השיוויון ונקבל: כלומר מסקנה: - = m אינו מתאים לתנאי השאלה כיוון שרוצים שאי-השיוויון יתקיים תמיד, לכל ערך של, ולא רק גדול מ-. 5 בדוגמא זו אין פתרון ל"בדיקת הקו הישר". 6
m m + m 4 < דוגמא :-.m = -, m = m m = כאשר = נקבל: והפתרונות הם:. 4 < + 4 < נציב את הפתרון הראשון = m באי השיוויון ונקבל: כלומר מסקנה: (4-) תמיד קטן מאפס ולכן = m הישר. מתאים לתנאי השאלה והוא פתרון לקו 4. > נציב את הפתרון השני - = m באי השיוויון ונקבל: < 4 מסקנה: - = m אינו מתאים לתנאי השאלה ואינו פתרון לקו הישר. כלומר m ב) כאשר שואלים לאילו ערכי משותפת: יש לגרף הפונקציה ולציר ה- נקודה אחת y = m 5 + m 8 דוגמא :-.m = 5 m 5 = כאשר = נקבל: והפתרון הוא:.y = 7 y = + 5 8 נציב m= 5 בפונקציה ונקבל: כלומר y = 7 אינו מתאים לתנאי השאלה כיוון ש- m = 5 לציר ה- ואין נקודת חיתוך עם ציר ה-. מסקנה: הוא קו מקביל y = m + m + 7 דוגמא :-.m = m = כאשר = נקבל: והפתרון הוא:.y = + 7 y = + + 7 נציב = m בפונקציה ונקבל: כלומר y = מתאים לתנאי השאלה מכיוון שהישר + 7 m = ציר ה- בנקודה ) -.5,.( מסקנה: חותך את 7
m ג) כאשר שואלים לאילו ערכי אין לגרף הפונקציה ולציר ה- אף נקודה משותפת:.y = 7 דוגמא:- כאשר = y = m 5 + m 8.m = 5 והפתרון הוא: m 5 = נקבל: נציב =m 5 בפונקציה ונקבל: y = + 5 8 כלומר מסקנה: y = 7 מתאים לתנאי השאלה כיוון ש- m = 5 לציר ה- ואין נקודת חיתוך עם ציר ה-. הוא קו מקביל שימו לב! בסעיפים ב' ו-ג' לעיל נעשה שימוש באותה דוגמא על-מנת להמחיש כמה חשוב לקרוא את נוסח השאלה ולהבין את סוג השאלה זה מה שיקבע לאיזו מסקנה תגיעו: אותו הפתרון אינו מתאים לסוג אחד של שאלה אך מתאים לסוג השני. 8
דוגמא לשאלה ופתרונה בשתי השיטות "שיטת התמיד" ו"שיטת הקודקוד" (כל אחד מכם יכול לבחור בשיטה הנוחה לו.).7 מומלץ לשרטט לפני תחילת הפתרון על-מנת לראות את "תמונת השאלה" ואת התנאים המתאימים לה. השאלה:- מצא לאילו ערכים של m נמצא גרף הפונקציה: - f = m + m + + m + 9 y = 4 כולו מעל לקו (הישר) = y וחותך את הקו (הישר) בשתי נקודות שונות. הפתרון:- y = 4 ברור שאין צורך בבדיקת קו ישר כי הפונקציה צריכה לחתוך את הישר נקודות, ולכן הפונקציה היא רק פרבולה. בשתי.y = הפרבולה חייבת להיות "צוחקת" כיוון שמתנאי השאלה היא כולה מעל הישר y עכשיו נשרטט את "תמונת השאלה":- y = 4 y = דרך א' פתרון ב"שיטת הקודקוד": > < 4 y קודקוד < > < < 4 4 ראשית נרשום את התנאים: > 4( ) 4 m+ 4 m m + 9 < < 4 וכעת נציב: 9
m > 4 m +m + 4 m + 9m m 9 < < 4 4 m ( ) נצמצם ב- 4 ונקבל: - m > m +m + m 9m m 9 < + + < 4 m > ( 6m ) + < < 4 m > m > m > ( 6m ) + < < 4 6 < 4 6 > 6 6 4 < >
m > m > ( ) 6m 4 m < 6 < ( ) 6m m > 4 8 > היות והמכנה חיובי ) > (m אז ניתן "לוותר" עליו ולקבל:- m > 6 < 4 8 > m > m < m > פתרון סופי לשאלה מערכת "" (האזור המשותף לכל שלישיית אי-השיוויונים): < m <
y = 4 דרך ב' פתרון ב"שיטת התמיד":- נפצל את הפתרון לשניים: כאשר הפרבולה מעל הקו = y כאשר הפרבולה חותכת את הקו נקודות שונות. (כאמור אין צורך בבדיקת הקו הישר) בשתי ( ) + ( m+ ) + m+ 9> y = הפרבולה מעל הישר תמיד, כלומר:- ( ) + ( m+ ) + m+ 7> נסדר את אי-השיוויון ונקבל: > < והתנאים לכך שאי השיוויון יהיה תמיד חיובי הם:- > 4 ( m+ ) 4( )( m+ 7) < נצמצם ב- 4 ונקבל:- > ( m + m+ ) ( m + 7 7) < m> m + m+ m 7m+ m+ 7 < m> 4m+ 8 < m> > m> m> m> y עם הקו = 4 f = m + m + + m + חיתוך הפונקציה 9 נקודות (כך מוצאים נקודות חיתוך בין שתי פונקציות פתרון אלגברי): בשתי נשווה בין שתי הפונקציות ונקבל: ( ) + ( m+ ) + m+ 9= 4 ( ) + ( m+ ) + m+ 5=
> התנאים לכך שיהיו שני שורשים שונים (חיתוך בשתי נקודות) הם:- m 4 m + 4 m m + 5 > m m + m + m + 5m m 5 > נצמצם ב- 4 ונקבל:- m m m + m+ m 5m+ m+ 5> m+ 6> m m < m m< m m< פתרון סופי של השאלה יהיה מערכת "" בין סעיפים א' ו- ב':- m> m m< < m< שימו לב:- הדיסקרימיננטות בשתי השיטות שונות ובכל זאת קבלנו אותה התוצאה (כצפוי). מאד חשוב לשים לב לניסוח השאלה האם מדובר על פרבולה או על משוואה או על גרף הפונקציה. כאשר מדובר בפרבולה אין בדיקת קו ישר.
8. מושגים נוספים בהם אתם יכולים "להיתקל": "נקודה משותפת שאינה תלויה ב- " m (דוגמא לשאלה מבחינת בגרות): g( ) = f = m + m g( ) נתונות הפונקציות: ול- יש נקודה משותפת שאינה תלויה ב-. m g( ) f( ) ) הראה כי ל- ( )f ) מצא עבור אילו ערכים של m פתרון: ול- ל- יש שתי נקודות משותפות. m + m = m + m = נמצא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות: נפתור את המשוואה הריבועית: (,,, = = = ( m ) ± 9m m + 4 ( m ) m ± 9m 4m + 6 6 6 ( m ) ± ( m 4) 6 ( m ) + ( m 4) = = m 6. (, ) m, ( ) ( ) m m 4 = = 6 ולכן הנקודה המשותפת שאינה תלויה ב- היא: ) שתי נקודות משותפות פירושו ששתי הנקודות לא תתלכדנה ולכן: 4 m m.(( (ניתן לפתור גם באמצעות >, במקרה שלנו > ) 4 4
"משפחת הפונקציות" (גם שאלה מבחינת בגרות):. y = m 5m m 5 נתונה משפחת הפונקציות: מצא ערך של m שעבורו גרף הפונקציה הוא קו ישר המקביל לציר ה-. פתרון: = m 5m = m =, m = 5, y = 5 m בפונקציה ונקבל: נציב = (אינו מקביל לציר ה- ). לא מתאים לתנאי השאלה y = m בפונקציה ונקבל: נציב = 5 (מקביל לציר ה- ( ולכן התשובה תהיה:, מתאים לתנאי השאלה. m= 5 5
9. נוסחאות ווייטה, קשר בין המקדמים, b, c המשוואה: של המשוואה הריבועית לשורשים של b + = = c שימושים של נוסחאות ווייטה ד. מציאת משוואה ריבועית כאשר נתונים השורשים שלה = בשלב הראשון). (מומלץ להניח α, β כאשר נתונה משוואה ריבועית שהשורשים שלה הם ריבועית חדשה שהשורשים שלה כפונקציה של α ו- β. יש לזכור את הזהות ורוצים למצוא משוואה b c. α +β = α+β αβ= כאשר נתונה משוואה ריבועית עם פרמטר ונתון אחד השורשים או קשר בין השורשים. כאשר יש דרישה לסימני השורשים (חיוביים, שליליים, שווי סימן, שוני סימן). הרעיון בכתיבת התנאים כל מה שידוע בוודאות לגבי סכום השורשים ומכפלת השורשים נכנס לתנאים! > לדוגמא:- כאשר שואלים לגבי שני שורשים חיוביים, בנוסף לתנאים "הרגילים" b > יש להוסיף בנוסחאות ווייטה את ואת התנאי (ידוע שסכום שני מספרים חיוביים גם הוא חיובי) (ידוע שמכפלת שני מספרים חיוביים גם היא חיובית). c > > יוצא שיש לבצע מערכת "" של ארבעה אי-שיוויונים: b > c > 6
ה. כאשר יש דרישה לשימוש עם ערך מוחלט לדוגמא: התנאים ששני השורשים יהיו שוני סימן והשורש בעל הערך המוחלט הגדול יותר יהיה השורש החיובי. > b > c < ו. בשאלונים מתקדמים יותר (7) - למשל, בהנדסה אנליטית כאשר נתונה נקודת האמצע של קטע ניתן להשתמש + b (ולמצוא את שיפוע הקטע / הישר) = בנוסחאות ווייטה בדרך הבאה: ניסוח אחר לגבי סימני השורשים:- מצא לאילו ערכי m חותכת הפונקציה את ציר ה- בשתי נקודות הנמצאות: ד. משני צידי הראשית באותו צד של הראשית מימין לראשית משמאל לראשית שני שורשים ממשיים שונים בעלי סימנים מנוגדים. שני שורשים ממשיים שונים בעלי סימנים שווים. שני שורשים ממשיים שונים חיוביים. שני שורשים ממשיים שונים שליליים. + b + c = סיכום התנאים ששני שורשי המשוואה הם:- שוני סימן שווי סימן שניהם חיוביים שניהם שליליים > > > > c > c > c > c < b < b > במקרה זה ניתן לוותר על התנאי של > 7
m דוגמא לשימוש בנוסחאות ווייטה נתונה משוואה ריבועית עם פרמטר ויש צורך למצוא עבור אילו ערכים של ממשי אחד חיובי. פתרון גרפי והתנאים המתאימים לו: יש למשוואה לפחות שורש = שורש אחד חיובי - פרבולה שורש אחד חיובי הקו הישר חייב להיות בצד ימין של הראשית על -מנת שיהיה חיובי b = = חייב להיות בצד ימין של הראשית על-מנת שיהיה חיובי שורש אחד חיובי פרבולה (השני שלילי) > c < > ד. שני שורשים חיוביים פרבולה b > c > ה. שורש אחד חיובי פרבולה (השורש השני שווה אפס) > b > c = הפתרון הסופי יהיה מערכת "או" בין הפתרונות של חמשת האפשרויות שלעיל. 8